Полина и Вероника играют в игру, правила которой заключаются в следующем:

1) Перед игроками лежат две кучи камней.

Игроки ходят по очереди, первый ход делает Полина.

2) За один ход игрок может добавить в одну кучу 2 камня или увеличить количество камней в куче в 5 раза.

Для этого у каждого игрока есть неограниченный запас камней.

3) Игра завершается в тот момент, когда сумма камней двух куч стала не менее 130.

4) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и получил сумму, равную 130 или больше.

Пример: из набора (5, 10) за один ход можно получить кучи камней: (7, 10), (25, 10), (5, 12), (5, 50).

В начальный момент в первой куче было 5 камней, а во второй — S камней из диапазона [1; 124].

Примечание.

Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность набрать нужную сумму камней в кучах для выигрыша при любых ходах противника.

Определите и запишите в ответ минимальное значение S, при котором Полина может выиграть за один ход.

Полина и Вероника играют в игру, правила которой заключаются в следующем:

1) Перед игроками лежат две кучи камней.

Игроки ходят по очереди, первый ход делает Полина.

2) За один ход игрок может добавить в одну кучу 2 камня или увеличить количество камней в куче в 5 раза.

Для этого у каждого игрока есть неограниченный запас камней.

3) Игра завершается в тот момент, когда сумма камней двух куч стала не менее 130.

4) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и получил сумму, равную 130 или больше.

Пример: из набора (5, 10) за один ход можно получить кучи камней: (7, 10), (25, 10), (5, 12), (5, 50).

В начальный момент в первой куче было 5 камней, а во второй — S камней из диапазона [1; 124].

Примечание.

Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность набрать нужную сумму камней в кучах для выигрыша при любых ходах противника.

Найдите максимальное значение S, при котором у Полины есть выигрышная стратегия, учитывая выполнение двух условий:

— Полина не может выиграть за один ход;

— Полина может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вероника.

Полина и Вероника играют в игру, правила которой заключаются в следующем:

1) Перед игроками лежат две кучи камней.

Игроки ходят по очереди, первый ход делает Полина.

2) За один ход игрок может добавить в одну кучу 2 камня или увеличить количество камней в куче в 5 раза.

Для этого у каждого игрока есть неограниченный запас камней.

3) Игра завершается в тот момент, когда сумма камней двух куч стала не менее 130.

4) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и получил сумму, равную 130 или больше.

Пример: из набора (5, 10) за один ход можно получить кучи камней: (7, 10), (25, 10), (5, 12), (5, 50).

В начальный момент в первой куче было 5 камней, а во второй — S камней из диапазона [1; 124].

Примечание.

Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность набрать нужную сумму камней в кучах для выигрыша при любых ходах противника.

Найдите максимальное значение S, при котором параллельно выполняются два условия:

— у Вероники есть стратегия, позволяющая ей выиграть первым или вторым ходом при любой игре Полины;

— у Вероники нет стратегии, которая позволит ей гарантированно выиграть первым ходом.