Задание 5

На вход алгоритма подаётся натуральное число N.

Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом:

1. Строится двоичная запись числа N.

2. К этой записи дописываются справа ещё несколько разрядов по следующим правилам:

— если число N четное, то справа и слева к этой записи дописывается 11;

— если число N нечетное, то справа к этой записи дописывается 00, а слева — 11.

Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа R.

Укажите наименьшее число R, большее 105, которое могло получиться в результате работы алгоритма.

В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Решение

🔹 Шаг 1. Перебор чисел и двоичная запись

for N in range(1, 20):
    s = f'{N:b}'
    print(N, '→', s)

📌 Результат: 1 → 1, 2 → 10, 3 → 11, 19 → 10011 и т.д.

🔹 Шаг 2. Проверка делимости на 3

for N in range(1, 20):
    s = f'{N:b}'
    if N % 3 == 0:
        print(N, s, 'делится на 3')
    else:
        print(N, s, 'НЕ делится на 3')

📌 Результат: 1 1 НЕ делится на 3, 2 10 НЕ делится на 3, 3 11 делится на 3, 19 10011 НЕ делится на 3 и т.д.

🔹 Шаг 3. Изменение двоичной строки

for N in range(1, 20):
    s = f'{N:b}'

    if N % 3 == 0:
        s_new = s + s[-3:]
        print(N, s, '→', s_new, '(приписали последние 3 бита)')
    else:
        r = (N % 3) * 3
        s_new = s + f'{r:b}'
        print(N, s, '→', s_new, f'(приписали {r:b})')

📌 Результат: 1 1 → 111 (приписали 11), 2 10 → 10110 (приписали 110), 3 11 → 1111 (приписали последние 3 бита), 19 10011 → 1001111 (приписали 11) и т.д.

🔹 Шаг 4. Перевод обратно в десятичное число

for N in range(1, 20):
    s = f'{N:b}'

    if N % 3 == 0:
        s = s + s[-3:]
    else:
        r = (N % 3) * 3
        s = s + f'{r:b}'

    R = int(s, 2)
    print(N, '→', s, '→', R)

📌 Результат: 1 → 111 → 7, 2 → 10110 → 22, 3 → 1111 → 15, 19 → 1001111 → 79 и т.д.

🔹 Шаг 5. Подсчёт N, для которых R удовлетворяет условию

Цель: собрать всё вместе и понять задачу целиком.

otv = []
for n in range(1000):
    s = bin(n)[2:]
    if n % 2 == 0:
        s = '11' + s + '11'
    else:
        s = '11' + s + '00'
    r = int(s, 2)
    if r > 105:
        otv.append(r)
print(min(otv))

📌 Результат: итоговый ответ программы.

Ответ: 115.